Cómo se hallaron las geometrías donde un triángulo no suma 180 grados

La geometría que se estudia en la escuela, la euclídea, quedó formalizada hace más de 2.000 años en Los Elementos. Durante siglos se intentó deducir su quinto postulado a partir de los otros cuatro. En la primera mitad del siglo XIX, János Bolyai y Nikolái Lobachevski describieron, por separado, una geometría en la que por un punto exterior a una recta pasa más de una paralela.

¿Qué dice el quinto postulado de Euclides?

Euclides asumió cinco afirmaciones como verdaderas y, aplicando la lógica, obtuvo los resultados de geometría plana que se conocían en su época, como el teorema de Pitágoras. Los cuatro primeros eran sencillos —por dos puntos pasa una única recta—, pero el quinto resultaba más complejo: por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela. La pregunta era si podía deducirse de los otros cuatro, que entonces bastarían.

¿Quiénes intentaron demostrarlo y por qué fallaron?

Los primeros intentos llegaron de Grecia. En el siglo V, Proclo creyó haberlo conseguido, pero asumió sin justificar que dos rectas que no se cortan están siempre a la misma distancia. A partir del siglo IX, los matemáticos del imperio árabe tomaron el relevo: Alhacén lo “demostró” dando por hecho que dos líneas rectas no pueden delimitar un área. A principios del siglo XII, Adelardo de Bath tradujo Los Elementos del árabe al latín. En el siglo XVII, el inglés John Wallis presentó una demostración en la que asumía, también sin justificación, que cualquier triángulo puede reescalarse.

¿Cómo nació la geometría hiperbólica?

Bolyai y Lobachevski llegaron a una geometría en la que por un punto exterior a una recta pasan varias paralelas. Lobachevski la llamó imaginaria; hoy se conoce como geometría hiperbólica. Sus ideas necesitaban un modelo que probara que esa geometría es realizable, y este llegó casi medio siglo después: en 1868, el matemático italiano Eugenio Beltrami introdujo un modelo hoy llamado disco de Poincaré, en el que el quinto postulado no se cumple pero sí el resto.

¿Qué se ve en el disco de Poincaré?

Es un círculo en el plano en el que los objetos se hacen infinitamente pequeños a medida que se acercan al borde. Las líneas son diámetros del círculo o arcos de circunferencia perpendiculares al borde. Dada una línea y un punto exterior a ella, hay infinitas rectas hiperbólicas que pasan por ese punto sin cortar la recta dada. Como consecuencia, la suma de los ángulos de un triángulo no es de 180 grados, sino estrictamente menor y variable. El artista neerlandés M. C. Escher recogió estas formas en varias de sus obras.

¿Se puede construir un modelo físico?

Beltrami produjo modelos en papel, todavía conservados en Pavía, y el estudiante alemán Walther von Dyck los elaboró en escayola. Ambos eran parciales o locales: el matemático alemán David Hilbert probó en 1901 que la geometría hiperbólica no puede visualizarse en su totalidad en dimensión tres. En el día a día aparecen modelos locales en una hoja de col kale, en una silla de montar o en un snack de patata ondulado. La matemática lituana Daina Taimina desarrolló en 1997 el ganchillo hiperbólico.

¿Dónde aparece hoy esta geometría?

Las nuevas tecnologías han multiplicado las vías para visualizar ese mundo: webs interactivas que permiten dibujar con regla y compás hiperbólicos, vídeos sobre la relación entre distintos modelos o el videojuego Hyperbolica, que plantea una experiencia inmersiva con gafas de realidad virtual. La columna Café y Teoremas, que cierra diez años de matemáticas en la prensa, ha seguido esta clase de problemas a lo largo de una década.

Preguntas frecuentes

¿Qué afirma el quinto postulado de Euclides?

Sostiene que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela. Euclides lo incluyó entre los cinco postulados de Los Elementos y durante siglos se intentó deducirlo de los otros cuatro.

¿Quién creó la geometría hiperbólica?

El militar húngaro János Bolyai y el profesor ruso Nikolái Lobachevski la desarrollaron de forma independiente en la primera mitad del siglo XIX. En 1868, Eugenio Beltrami aportó el primer modelo formal, el disco de Poincaré.

¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo en geometría hiperbólica?

Menos de 180 grados, y la cifra varía según el triángulo. En el disco de Poincaré, además, por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas que no la cortan.

¿Se puede ver la geometría hiperbólica en un objeto real?

Solo de forma parcial. David Hilbert demostró en 1901 que no puede visualizarse completa en dimensión tres, aunque aparecen modelos locales en una hoja de col kale, una silla de montar o un snack de patata ondulado.

Con información de feeds.elpais.com.

Imagen de referencia, no corresponde a los hechos narrados. Business Technology — Maliha Mannan / Wikimedia Commons (CC0 1.0)